UNIDAD 3: PROBABILIDAD CONDICIONAL

 Probabilidad condicional: 

Es la probabilidad de que ocurra un evento A , sabiendo que también sucede un evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A/B) y se lee ( la probabilidad A dado B )

        P(A/B)=  P(A∩B)/ P(B)

Ejemplo:  

En el ejemplo presentado al comienzo, supongamos ahora que se extraen dos bolillas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla roja y una blanca, en ese orden?

Solución:

Sean C: “la primera bolilla es roja” y D: “la segunda bolilla es blanca”. debemos calcular P(C ∩ D). Aplicando la regla del producto.

P(C ∩ D) = P(C) P(D |C) = 4/9x5/8= 20/72= 5/18

Regla del producto

Esta regla permite calcular las probabilidades en experimentos compuestos. “La probabilidad de verificación simultánea de dos sucesos independientes es igual al producto de sus probabilidades simples.”

P( A∩B∩C)= P(A).P(B).P(C)…P(An)…

Continuación

¿Cómo podemos obtener ahora la probabilidad de que la primera bolilla haya sido roja (suceso C) sabiendo que la segunda fue blanca (suceso D)? La probabilidad requerida es

P (C / D)= (C / D)/ P(D)= (5/18)/(5/9)= ½  

El Teorema de Bayes

Describe cómo es posible “revisar” la probabilidad inicial de un evento o probabilidad a priori (P(Ai)) para reflejar la información adicional que nos provee la ocurrencia de un evento relacionado.

Ejemplo:

Supongamos que cierta prueba para detectar la presencia de una enfermedad en un individuo, da resultado positivo (detecta la presencia de la enfermedad) en un individuo enfermo con probabilidad 0.99 y en un individuo sano con probabilidad 0.02 (falso positivo). 

Por lo tanto, dicha prueba no detecta la enfermedad en un individuo sano con probabilidad 0.98 y no la detecta en un individuo enfermo con probabilidad 0.01 (falso negativo). 

Es decir que si denotamos A: “la persona padece esa enfermedad” y B: “la prueba es positiva”,

P(A / B)= (P (B/ A )P(A) ) / ( P (B/ A )P(A) + P(B/A)P(A)=   (0.99 x 0.001)  /  ( 0.99 0.001 0.02 0.999) = 0.0472 =   0.05